为什么有的间断点不用求左右

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时间：2025-06-13 15:10:48 来源：56看看网

因为函数f（x）在一点x0处的连续性可以定义为f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0），因此，所谓的间断就是如上等式中的某个极限不存在或某个等号不成立，其先决条件就是先计算这些极限（左、右极限）。当然如果你能确定左、右极限是相等的，你就不用分开计算了；但如果是分段函数，最好是分别计算左、右极限。

一、定义

设一元实函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f（x）有下列情形之一:

（1）函数f（x）在点x0的左右极限都存在但不相等，即f（x0+）≠f（x0-）；

（2）函数f（x）在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

（3）函数f（x）在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f（x0）或者f（x）在点x0无定义。

则函数f（x）在点x0为不连续，而点x0称为函数f（x）的间断点。

二、几种常见类型

可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1）/（x-1）在点x=1处。

跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

无穷间断点:函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点:函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin（1/x）在x=0处。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。

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