可积和存在原函数有什么区别

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可积和存在原函数有什么区别

时间：2025-06-13 15:10:48 来源：56看看网

可积和存在原函数的区别在于存在原函数的话，就一定可积，用牛莱公式就可以计算出积分值，可积分就是能算面积，反常积分如果可能可积，但不存在原函数。

一、基本简介

如果f（x）在[a，b]上的定积分存在，我们就说f（x）在[a，b]上可积。即f（x）是[a，b]上的可积函数。

充分条件

定理1设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。

定理2设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f（x）在[a，b]上可积。

定理3设f（x）在区间[a，b]上单调有界，则f（x）在[a，b]上可积。

二、可积函数

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"等等。

给定集合X及其上的σ-代数σ和σ上的一个测度，实值函数f:X→R是可积的如果正部f和负部f都是可测函数并且其勒贝格积分有限。令为f的"正部"和"负部"。如果f可积，则其积分定义为对于实数p≥0，函数f是p-可积的如果|f|是可积的;对于p=1，也称绝对可积。（注意f（x）是可积的。当且仅当|f（x）|是可积的，所以"可积"和"绝对可积"在勒贝格意义下等价。）术语p-可和也是一样的意义，常用于f是一个序列，而μ是离散测度的情况下。这些函数组成的L空间是泛函分析研究中的主要对象之一。

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